Позиционные системы счисления

       Основные достоинства любой позиционной системы счисления — простота выполнения арифметических операций и ограниченное количество символов (цифр), необходимых для записи любых чисел.
        Основанием позиционной системы счисления называется возводимое в степень целое число, которое равно количеству цифр, используемых для изображения чисел в данной системе счисления. Основание показывает также, во сколько раз изменяется количественное значение цифры при перемещении ее на соседнюю позицию.
        Возможно множество позиционных систем,  так как за основание системы счисления можно принять любое число не меньшее 2.  Наименование системы счисления соответствует ее основанию (десятичная, двоичная, восьмеричная, шестнадцатеричная и т. д.). 

В позиционных системах счисления количественный эквивалент (значение) цифры зависит от ее места (позиции) в записи числа.

Десятичная система характеризуется тем,  что в ней 10 единиц какого-либо разряда образуют единицу следующего старшего разряда. Другими словами, единицы различных разрядов представляют собой различные степени числа 10.
 В системе счисления с основанием q  (q-ичная  система  счисления) единицами разрядов служат последовательные степени числа q,  иначе говоря, q единиц какого-либо разряда образуют единицу следующего  разряда. Для записи чисел в q-ичной системе счисления требуется q различных цифр (0,1,...,q-1).

            В позиционной системе счисления любое  вещественное  число  в развернутой форме может быть представлено в следующем виде:

1)

Аq= ± (an-1qn-1+an-2qn-2+...+a0q0+a-1q-1+a-2q-2+...+a-mq-m)           

 или

2)

Аq = ± aiqi        

        Здесь А — само число,

q — основание системы счисления,

ai —цифры, принадлежащие алфавиту данной системы счисления,

n — число целых разрядов числа,

m — число дробных разрядов числа.

 

        Свернутой формой записи числа называется запись в виде

 

3)

A=an-1an-2...a1a0,a-1...a-m

 
        Именно такой формой записи чисел мы и пользуемся в повседневной жизни. Иначе свернутую форму записи называют естественной или цифровой.

        Пример 1. Десятичное число А10=4718,63 в развернутой форме запишется так:

А10=4·103+7·102+1·101+8·100+6·10-1+3·10-2

        Пример 2. Двоичная система счисления.

        В двоичной системе счисления основание q=2. В этом случае формула (2.4) принимает вид:

А2= ± (an-12n-1+an-22n-2+...+a020+a-12-1+a-22-2+...+a-m2-m)

Здесь аi — возможные цифры (0, 1).

        Итак, двоичное  число  представляет собой цепочку из нулей и единиц. При этом оно имеет достаточно  большое  число  разрядов.  Быстрый рост  числа  разрядов — самый существенный недостаток двоичной системы счисления.

        Записав двоичное число А2=1001,1 в развернутом виде и произведя вычисления, получим это число, выраженное в десятичной системе счисления:

А2=1·23+0·22+0·21+1·20+1·2-1 = 8+1+0,5 = 9,510.

        Пример 3. Восьмеричная система счисления.

Основание: q=8.

Алфавит: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7.

Записав восьмеричное число А8=7764,1  в развернутом виде и произведя вычисления, получим это число, выраженное в десятичной системе счисления:

А8=7·83+7·82+6·81+4·80+1·8-1 = 3584 + 448 + 48 + 4 + 0,125 = 4084,12510

        Пример 4.  Шестнадцатеричная система счисления.

Основание: q=16.

Алфавит: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F.

Здесь только десять цифр из шестнадцати имеют общепринятое  обозначение 0,1, …9. Для записи остальных цифр (10, 11, 12, 13, 14 и 15) обычно используются первые пять букв латинского алфавита.

Таким образом, запись 3АF16 означает:

3АF16 = 3·162+10·161+15·160 = 768+160+15 = 94310.

        Пример 5. Запишем начало натурального ряда чисел в  десятичной  и  двоичной системах счисления:

А10

А2

А10

А2

0

1

2

3

4

5

6

7

0

1

10

11

100

101

110

111

8

9

10

11

12

13

14

15

1000

1001

1010

1011

1100

1101

1110

1111

 Задания для самостоятельного выполнения

1.    Какой числовой эквивалент имеет цифра 6 в числах: 

6789

3650

16

69

2..      Сравните числа III и 111, записанные в римской и десятичной системах счисления..

3.      Какие числа записаны римскими цифрами:

а)  MCMXCIX;   б) CMLXXXVIII;   в) MCXLVII?

4.      Запишите год,  месяц и число своего рождения c помощью римских цифр.

5.      Некоторые римские цифры легко изобразить, используя палочки или спички. Ниже написано несколько неверных равенств. Как можно получить из них верные равенства, если разрешается переложить с одного места на другое только одну спичку (палочку)?

        VII - V=XI                 IX-V=VI

        VI - IX=III                 VIII - III=X

6.      Заполните следующую таблицу:

Система счисления

Основание

Цифры

шестнадцатеричная

16

 

десятичная

 

0,1,2,3,4,5,6,7,8,9

 

8

0,1,2,3,4,5,6,7

 

2

 

7.      Заполните следующую таблицу:

Система счисления

Основание

Разряды (степени)

десятичная

10

10000

1000

100

10

1

восьмеричная

8

 

 

 

 

 

двоичная

2

 

 

 

 

 

 

8.      Запишите в развернутом виде числа:

а) А8=143511;

г) А10=143,511;

б) А2=100111;

в) А16=143511;

д) А8=0,143511;

е) А16=1A3,5C1.

9.      Запишите в свернутой форме следующие числа:

а) А10= 9·101+1·100+5·10-1+3·10-2;

б) А16=А·161+1·160+7·16-1+5·16-2.

10.      Правильно ли записаны числа в соответствующих системах счисления:

а) А10=А,234;

б) А8=-5678;

в) А16=456,46;

г) А2=22,2;

11.   Какое  минимальное  основание имеет система счисления,  если в ней записаны числа  127, 222, 111? Определите десятичный эквивалент данных чисел в найденной системе счисления.

12.   Чему равен десятичный эквивалент чисел 101012, 101018  1010116?

13.   Трехзначное десятичное число оканчивается цифрой 3. Если эту цифру переместить на два разряда влево, т.е. с нее будет начинаться запись нового числа, то это новое число будет на единицу больше утроенного исходного числа. Найдите исходное число.

14.   Шестизначное десятичное число начинается слева цифрой 1. Если эту цифру перенести с первого места слева на последнее место справа, то значение образованного числа будет втрое больше исходного. Найдите исходное число.

 

15.   Какое из  чисел  1100112, 1114, 358 и 1В16 является:

        а) наибольшим;

        б) наименьшим.

16.   Существует ли треугольник, длины сторон которого выражаются числами 128, 1116 и 110112?

17.   Какое наибольшее десятичное число можно записать тремя цифрами в двоичной, восьмеричной и шестнадцатеричной системах счисления?

18.   "Несерьезные" вопросы.

        Когда 2×2=100 ?

        Когда 6×6=44?

        Когда 4×4=20?

 

19.   Выпишите целые десятичные числа, принадлежащие следующим числовым промежуткам:

а) [1011012; 1100002];

б) [148; 208];

в) [2816; 3016].

 

20.   В классе 11112 девочек и 11002 мальчиков. Сколько учеников в классе?

21.   В классе 36q учеников, из них 21q девочек и 15q мальчиков. В какой системе счисления велся счет учеников?

22.   В саду 100q фруктовых деревьев, из них 33q яблони, 22q груши, 16q слив и 5q вишен. В какой системе счисления посчитаны деревья?

23.   Было 100q яблока. После того как каждое из них разрезали пополам, стало 1000q  половинок. В системе счисления с каким основанием вели счет?

24.   У меня 100 братьев. Младшему 1000 лет, а старшему 1111 лет. Старший учится в 1001 классе. Может ли такое быть?

25.   Некогда был пруд,  в центре которого рос один лист водяной  лилии. Каждый  день  число таких листьев удваивалось,  и на десятый день вся поверхность пруда уже была заполнена листьями лилий.  Сколько дней понадобилось, чтобы  заполнить  листьями  половину пруда?  Сколько листьев было после девятого дня?.

26.   Путем подбора степеней числа 2, в сумме дающих заданное число, переведите в двоичную систему счисления следующие числа:

а) 5;

б) 7;

в) 12;

г) 25;

д) 32;

е) 33.

Hosted by uCoz